Inequação Logarítmica

A inequação logarítmica é uma função com conceitos de logarítmicos e de inequações.

A incógnita, nesses casos, está no logaritmando e/ou na base. Vale lembrar que um logaritmo possui o seguinte formato:

loga b = x ↔ ax = b,

Sendo assim “a” é a base do logaritmo; “b” é o logaritmando e “x” é o logaritmo.

E inequação é a função baseada nos sinais de desigualdades: “<”, ”>”,  “≠”,  “≤” e “≥”.

Alguns exemplos dessa função:

Exemplo 1: log5 (2x – 3) < log5 x

Devemos verificar as condições de existência dos logaritmos:

Temos uma desigualdade entre logaritmos de mesma base que é maior do que 1. Podemos então manter a desigualdade apenas entre os logaritmandos:

log5 (2x – 3) < log5 x
2x – 3 < x
2x – x < 3
x < 3

Nesse caso, a solução é .

Exemplo 2: log2 (x + 3) ≥ 3

Primeiramente, verificamos a condição de existência do logaritmo:

x + 3 > 0
x > – 3

Nesse caso, há uma desigualdade entre um logaritmo e um número real. Podemos resolver o logaritmo da forma convencional, mantendo a desigualdade:

log2 (x + 3) ≥ 3
x + 3 ≥ 23 
x + 3 ≥ 8
x ≥ 8 – 3
x ≥ 5 
 

A solução é .

Exemplo 3: log1/2 3x > log1/2 (2x + 5)

Verificando as condições de existência dos logaritmos, temos:

Nesse exemplo, há uma desigualdade entre logaritmos de mesma base que é menor do que1. Para resolvê-la, devemos inverter a desigualdade, aplicando-a entre os logaritmandos:

log1/2 3x > log1/2 (2x + 5)
3x < 2x + 5
3x – 2x < 5
x < 5

Nesse caso, a solução é ​.

1- Resolva a inequação logarítmica log10 (x² + 2) > log10 (2x – 1).

2- Resolva a inequação log2 (x – 3) + log2 (x – 2) < 1.

Gabarito:

1- Vamos, inicialmente, verificar as condições de existência dos logaritmos:

Como os logaritmos possuem a mesma base, podemos desconsiderá-los e estabelecer a inequação apenas com os logaritmandos:

log10 (x² + 2) > log10 (2x – 1)
x² + 2 > 2x – 1
x² – 2x + 2 + 1 > 0
x² – 2x + 3 > 0

Através da fórmula de Bhaskara, podemos determinar as raízes de x² – 2x + 3 = 0:

Δ = (– 2)² – 4∙1∙3
Δ = 4 – 12
Δ = – 8

Como Δ < 0, a equação não possui raízes reais. Portanto, a inequação x² – 2x + 3 > 0 também não possui um intervalo real. Pelas condições de existência, podemos concluir que a única solução possível para log10 (x² + 2) > log10 (2x – 1) é x > ½.

 2- Analisando as condições de existência dos logaritmos, temos:

Como log2 2 = 1, podemos reescrever a inequação da seguinte forma:

log2 (x – 3) + log2 (x – 2) < log2 2

Se a soma de logaritmos de mesma base equivale ao logaritmo cujo logaritmando é o produto dos logaritmandos anteriores, temos:

log2 [(x – 3) ∙ (x – 2)] < log2 2

Desconsiderando os logaritmos, podemos manter a desigualdade apenas entre os logaritmandos:

(x – 3) ∙ (x – 2) < 2
x² – 3x – 2x + 6 < 2
x² – 5x + 4 < 0

Podemos utilizar a fórmula de Bhaskara para determinar as raízes de x² – 5x + 4 = 0:

Δ = (– 5)² – 4∙1∙4
Δ = 25 – 16
Δ = 9

x = – (– 5) ± √9
     2∙1
x = 5 ± 3
     3
x' = 5 + 3 = 8 = 4
   2        2
x'' = 5 – 3 = 2 = 1
     2      2

Análise do sinal de x² – 5x + 4 < 0, chega ao seguinte quadro:

Solução da questão 4

Portanto, o conjunto solução de log2 (x – 3) + log2 (x – 2) < 1 é S = ]3, 4[.