A inequação logarítmica é uma função com conceitos de logarítmicos e de inequações.
A incógnita, nesses casos, está no logaritmando e/ou na base. Vale lembrar que um logaritmo possui o
loga b = x ↔ ax = b,
Sendo assim
E inequação é a função baseada nos sinais de desigualdades: “<”, ”>”,
Alguns exemplos dessa função:
Exemplo 1:
Devemos verificar as condições de existência dos logaritmos:
2x – 3 > | x > 0 |
Temos uma desigualdade entre logaritmos de mesma base que é maior do que 1. Podemos então manter a desigualdade apenas entre os logaritmandos:
log5 (2x – 3) < log5 x
2x – 3 < x
2x – x < 3
x < 3
Nesse caso, a solução é .
Exemplo 2:
Primeiramente, verificamos a condição de existência do logaritmo:
x + 3 > 0
x > – 3
Nesse caso, há uma desigualdade entre um logaritmo e um número real. Podemos resolver o logaritmo da forma convencional, mantendo a desigualdade:
log2 (x + 3) ≥ 3
x + 3 ≥ 23
x + 3 ≥ 8
x ≥ 8 – 3
x ≥ 5
A solução é .
Exemplo 3:
Verificando as condições de existência dos logaritmos, temos:
3x > | 2x + 5 > 0 |
Nesse exemplo, há uma desigualdade entre logaritmos de mesma base que é menor do que1. Para resolvê-la, devemos inverter a desigualdade, aplicando-a entre os logaritmandos:
log1/2 3x > log1/2 (2x + 5)
3x < 2x + 5
3x – 2x < 5
x < 5
Nesse caso, a solução é .
Aqui fica uma vídeo aula sobre o conteúdo abordado anteriormente:
Deixo aqui também duas vídeo aulas de exercícios resolvidos e comentados:
Ficam aqui também alguns exercícios com gabarito para a fixação sobre o tópico:
1-
2-
Gabarito:
1-
x² + 2 > 0 | x – 1 > 0 |
Como os logaritmos possuem a mesma base, podemos desconsiderá-los e estabelecer a inequação apenas com os logaritmandos:
log10 (x² + 2) > log10 (2x – 1)
x² + 2 > 2x – 1
x² – 2x + 2 + 1 > 0
x² – 2x + 3 > 0
Através da fórmula de Bhaskara, podemos determinar as raízes de x² – 2x + 3 = 0:
Δ = (– 2)² – 4∙1∙3
Δ = 4 – 12
Δ = – 8
Como Δ < 0, a equação não possui raízes reais. Portanto, a inequação x² – 2x + 3 > 0 também não possui um intervalo real. Pelas condições de existência, podemos concluir que a
2-
x – 3 > 0 | x – 2 > 0 |
Como log2 2 = 1, podemos reescrever a inequação da seguinte forma:
log2 (x – 3) + log2 (x – 2) < log2 2
Se a soma de logaritmos de mesma base equivale ao logaritmo cujo logaritmando é o produto dos logaritmandos anteriores, temos:
log2 [(x – 3) ∙ (x – 2)] < log2 2
Desconsiderando os logaritmos, podemos manter a desigualdade apenas entre os logaritmandos:
(x – 3) ∙ (x – 2) < 2
x² – 3x – 2x + 6 < 2
x² – 5x + 4 < 0
Podemos utilizar a fórmula de Bhaskara para determinar as raízes de x² – 5x + 4 = 0:
Δ = (– 5)² – 4∙1∙4
Δ = 25 – 16
Δ = 9
x = – (– 5) ± √9
2∙1
x = 5 ± 3
3
x' = 5 + 3 = 8 = 4
2 2
x'' = 5 – 3 = 2 = 1
2 2
Análise do sinal de x² – 5x + 4 < 0, chega ao seguinte quadro:
Solução da questão 4
Portanto, o conjunto solução de log2 (x – 3) + log2 (x – 2) < 1 é S = ]3, 4[.