Integral por Substituição

Existem algumas funções que não podem ser integradas usando somente as propriedades e a tabela de integrais, que necessitam de outro método.

A ideia básica da integração por substituição é fazer uma troca de uma parte da função(x) por uma variável simples(u), possibilitando a integração. Após a equação ser integrada substituímos a variável simples pela parte substituída.

Podemos entender melhor como isso acontece com o exemplo abaixo:

Calcule

Se tomarmos u=x2+1, então =2x, o que implica du=2xdx. Assim a integral dada pode ser escrita como:

É importante saber que, no método, controlamos a escolha de u, mas, uma vez feita a escolha, perdemos o controle sobre a expressão resultante para du. Isso significa que temos que ter cuidado ao escolher o u, algo que sempre facilite a função para a integração e que facilite o du.

Podemos criar um pequeno roteiro para a Integração por substituição:

  1. Procure alguma composição f(g(x)) dentro do integrando para qual a substituição: u=g(x) e du=g’(x)dx, produza uma integral expressa inteiramente em termo u e de du. Isso pode não ser possível (então precisaremos de outros métodos, tópicos mais avançados)
  2. Calcule a integral resultando em termos de u.
  3. Substitua u por g(x) para expressar a resposta final em termos de x.

Além disso existem algumas substituições facilmente identificáveis como quando o integrando for a derivada de uma função conhecida, por exemplo:

 

Disponibilizo uma vídeo aula resolvendo os exercícios disponíveis no final da página:

Abaixo ficam os exercícios com gabarito feitos na vídeo aula disponibilizada acima, que eu fortemente recomendo que os alunos treinem para fixar um método tão importante:

1-Calcule as seguintes integrais:

a)

b)

2-Use o método da substituição para calcular as seguintes integrais:

a)

b)

c)

d)

3-Resolva as integral abaixo:

a)

 
Resolução:

1-

a)

b)

2-

a)

b)

c)

d)

3-

a)

9 Comments

  1. Bons exercícios, adorei!

  2. Foi de grande utilidade!

  3. Matheus de Souza Reis

    Ótimo, só a última que eu não entendi nada kkk

    • Olá Matheus, logo sairá no site vídeo aulas resolvendo todos exercícios de exemplos do site, fique ligado!
      Grande abraço da Equipe Engenharia Exercícios!

  4. Francisca Aldaiza Oliveira Lima

    Adorei .Mim ajudou bastante.

  5. Melhor site na minha opinião não pode sair nunca do ar obrigado pela ajuda

  6. A ultima ele pegou o valor que era igual a: u=(x-1), e como sobrou x^2 sozinho na expressão original, após ter encontrado o u e o du, então ele isolou na expressão u=(x-1) o “x” encontrando x=(u+1).
    Dessa forma se mais termos sobrando, fez as devidas contas, integrou e substituiu de volta os valores de x encontrando a solução.
    Ou seja = raiz de x-1 = u, du=1dx e x=u+1

  7. Ok. Boa explicação. Obrigado pelo excelente vídeo.

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