Regra de Cramer

A regra de Cramer é uma das maneiras de resolver um sistema linear, mas só poderá ser utilizada na resolução de sistemas que o número de equações e o número de incógnitas forem iguais.

Ao resolvermos um sistema linear de n equações e n incógnitas para a sua resolução devemos calcular o determinante (D) da equação incompleta do sistema e depois substituirmos os termos independentes em cada coluna e calcular os seus respectivos determinantes e assim aplicar a regra de Cramer que diz:

Os valores das incógnitas são calculados da seguinte forma:

x1 = D1
D

x2 = D2
D

x3 = D3   …   xn = Dn
D                 D

Podemos entender melhor como funciona no exemplo abaixo:

Dado o sistema linear  http://brasilescola.uol.com.br/upload/e/cramer1.JPG , para resolvê-lo podemos utilizar da regra de Cramer, pois ele possui 3 equações e 3 incógnitas, ou seja, o número de incógnitas é igual ao número de equações.

Devemos encontrar a matriz incompleta desse sistema linear que será chamada de A.
http://brasilescola.uol.com.br/upload/e/cramer2.JPG

Agora calculamos o seu determinante que será representado por D.

http://brasilescola.uol.com.br/upload/e/cramer3.JPG

D = 1 + 6 + 2 + 3 – 1 + 4
D = 15.

Agora devemos substituir os temos independentes na primeira coluna da matriz A, formando assim uma segunda matriz que será representada por Ax.

http://brasilescola.uol.com.br/upload/e/cramer4.JPG

Agora calcularmos o seu determinante representado por Dx.

http://brasilescola.uol.com.br/upload/e/cramer5.JPG

Dx = 8 + 4 + 3 + 2 – 8 + 6
Dx = 15

Substituímos os termos independentes na segunda coluna da matriz incompleta formando a matriz Ay.
http://brasilescola.uol.com.br/upload/e/cramer6.JPG

Agora calcularmos o seu determinante Dy.

http://brasilescola.uol.com.br/upload/e/cramer7.JPG

Dy = -3 + 24 + 4 – 9 – 2 + 16
Dy = 30

Substituindo os termos independentes do sistema na terceira coluna da matriz incompleta formaremos a matriz Az.
http://brasilescola.uol.com.br/upload/e/cramer8.JPG

Agora calculamos o seu determinante representado por Dz.

http://brasilescola.uol.com.br/upload/e/cramer9.JPG

Dz = – 2 + 18 + 16 + 24 – 3 – 8
Dz = 45

Depois de ter substituído todas as colunas da matriz incompleta pelos termos independentes, iremos colocar em prática a regra de Cramer.

A incógnita x = Dx = 15 = 1
D      15

A incógnita y = Dy = 30 = 2
D      15

A incógnita z = Dz = 45 = 3
D      15

Portanto, o conjunto verdade desse sistema será V = {(1,2,3)}.

 

Deixo duas vídeo aulas abaixo sobre o tema, uma ensinando a usar com 2 variáveis e outra com 3.

 

 

Abaixo deixo alguns exercícios com gabarito para o treino do aluno:

1- Utilizando a Regra de Cramer, determine o valor da incógnita y no seguinte sistema de equações lineares: 

http://www.brasilescola.com/upload/conteudo/images/Untitled-143(1).gif

 

2- Sabemos que os sistemas possuem uma representação matricial formada pelos coeficientes numéricos de cada incógnita. Por exemplo, o sistema de equações 

http://www.brasilescola.com/upload/conteudo/images/Untitled-138(1).gif ,  possui a seguinte representação matricial:

http://www.brasilescola.com/upload/conteudo/images/Untitled-139(1).gif

O sistema também pode ser representado pela matriz incompleta formada somente pelos coeficientes numéricos das incógnitas.

http://www.brasilescola.com/upload/conteudo/images/Untitled-140(1).gif

Essa representação de sistemas na forma de matrizes permite a utilização da Regra de Cramer no cálculo das incógnitas do sistema. 

Com base nas informações, calcule os valores de x, y e z do sistema de equações 

http://www.brasilescola.com/upload/conteudo/images/Untitled-141(1).gif , utilizando a Regra de Cramer. 

 

 

 

Gabarito:

1- No cálculo do determinante das matrizes indicadas utilizaremos o método de Sarrus.

http://www.brasilescola.com/upload/conteudo/images/Untitled-144(1).gif

y = Dy / D
y = 62/31
y = 2

O valor da incógnita y no sistema de equações é 2.

 
2- No cálculo do determinante das matrizes indicadas utilizaremos o método de Sarrus.

http://www.brasilescola.com/upload/conteudo/images/Untitled-142(1).gif

x = Dx / D
x = –8/–8
x = 1

y = Dy/D
y = –16/–8
y = 2

z = Dz/D
z = 8/–8 = –1

Conjunto solução: x = 1, y = 2 e z = –1.

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