Matrizes Transpostas e Simétricas

Podemos aplicar algumas “propriedades” nas matrizes, entre elas a transposição e a simetria:

  • Matriz Transposta: simbolizada pelo AT, é basicamente dada trocando as linhas pelas colunas, como podemos ver abaixo:

  • Matriz Simétrica: é dada quando ambos os lados da diagonal principal são iguais, isto é separando a diagonal principal tanto a parte de baixo quanto a de cima da matriz são iguais. E sempre que uma matriz simétrica for transposta, seus elementos continuarão sendo os mesmos sem mudar de lugares, como podemos ver abaixo:

Abaixo fica uma vídeo aula sobre o tema estudado acima :

 

 

 

Deixo aqui também alguns exercícios com gabarito sobre o tema proposta acima:

1- Sendo A = http://s1.static.brasilescola.com/img/2014/04/matriz-a-1.jpg e B = http://s1.static.brasilescola.com/img/2014/04/matriz-b-1.jpg  , determine:

a) 2A + At

b) 3Bt

c) (At)t

 

2- Dada a Matriz A = http://s1.static.brasilescola.com/img/2014/04/matriz-a-4.jpg , sendo At sua transposta, o determinante da matriz A.Aé:

a) 1

b) 7

c) 14

d) 49

 

3- Encontre o valor de x para que o produto A.B seja uma matriz simétrica.

 

 

 

Gabarito:

1- a) Nós multiplicaremos todos os elementos da matriz A por 2 e, em seguida, somaremos a essa matriz a transposta da matriz A, ou seja, a matriz A com os elementos das linhas trocados pelos elementos das colunas e vice-versa.

http://s2.static.brasilescola.com/img/2014/04/exercicios-sobre-matriz-transposta-questao-1-item-a.jpg

 

b) Vamos trocar as linhas pelas colunas da matriz B, escrevendo assim a sua matriz transposta. Depois de encontrar a matriz resultante, multiplicaremos todos os elementos por 3.

http://s4.static.brasilescola.com/img/2014/04/exercicios-sobre-matriz-transposta-questao-1-item-b.jpg

 

c) Primeiramente, nós encontraremos a transposta da matriz A. Feito isso, repetiremos o processo. Facilmente vemos que (At)t = A.

http://s5.static.brasilescola.com/img/2014/04/exercicios-sobre-matriz-transposta-questao-1-item-c.jpg

 

 

 

2- Inicialmente, nós encontramos a matriz transposta a A. Em seguida, fazemos a multiplicação da matriz A pela sua transposta. Como podemos ver a seguir:

http://s2.static.brasilescola.com/img/2014/04/exercicios-sobre-matriz-transposta-questao-4.jpg

Vamos agora calcular o determinante da matriz encontrada:

Det (A.At) = 13.5 – 4.4
Det (A.At) = 65 – 16
Det (A.At) = 49

Portanto, a alternativa correta é a letra d.

 

 

3-

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