Inequação Modular

A inequação modular é uma função com conceitos de módulo e de inequações.

Módulo é a distância de um numero à 0 e inequação é a função baseada nos sinais de desigualdades: “<”, ”>”,  “≠”,  “≤” e “≥”.

Abaixo ficam alguns exemplos de inequações modulares e a resolução:

1)|x| > 6   

x < – 6 ou x > 6

S = {x  R | x < – 6 ou x > 6}

 

2)|x| ≤ 4

– 4 ≤ x ≤ 4

S = {x ∈ R | – 4 ≤ x ≤ 4}

 

3)|x + 3| > 7

x + 3 < – 7 ou x + 3 > 7

Se x + 3 < – 7, então:                                               Se x + 3 > 7, então:

x < – 7 – 3                                                                 x > 7 – 3

x < – 10                                                                     x > 4

S = {x  R | x < – 10 ou x > 4}

 

4)|4x + 1| ≥ 3

4x + 1 ≤ – 3 ou 4x + 1 ≥ 3

Se 4x + 1 ≤ – 3, então:                                  Se 4x + 1 ≥ 3, então:

4x ≤ – 3 – 1                                                   4x ≥ 3 – 1

4x ≤ – 4                                                          4x ≥ 2

x ≤ – 1                                                            x ≥ ½

S = {x  R | x ≤ – 1 ou x ≥ ½}

 

Deixo aqui uma vídeo aula para maior entendimento sobre o tópico:

 

Deixo aqui também uma vídeo aula com exercícios resolvidos e comentados:

 

Aqui ficam alguns exercícios com gabarito para a fixação do assunto:

 

1- Resolva a desigualdade: | x – 2 | ≥ x.

 

2- Resolva a inequação modular a seguir: |2x + 1| > x + 5.

 

3-(FGV – SP) Multiplicando os valores inteiros de x que satisfazem simultaneamente as desigualdades |x – 2| ≤ 3 e |3x – 2| > 5, obtemos:

a) 12
b) 60
c) – 12
d) – 60
e) 0

 

Gabarito:

1- Utilizando uma das propriedades de inequação modular, temos que se |y| ≥ k, então y2 ≥ ≥ k2. Portanto:

(x – 2)2 ≥ x2

Vamos resolver essa inequação de duas formas distintas, primeiramente faremos:

x2 – 4x + 4 ≥ x2
x2 – x2 – 4x + 4 ≥ 0
– 4x + 4 ≥ 0
– 4x ≥ – 4
(–1). – 4x ≥ – 4 .(–1)
4x ≤ 4
x ≤ 4
4
x ≤ 1

Faremos agora:

x2 – 4x + 4 < – x2
2x2 – 4x + 4 < 0
x2 – 2x + 2 < 0
∆ = – 8

Essa inequação não possui raízes reais.

Portanto, os únicos valores que satisfazem a desigualdade | x – 2 | ≥ x são os valores de x menores ou iguais a 1.

 

2- Inicialmente precisamos determinar os valores do módulo, isto é, o módulo |2x + 1| poderá assumir duas resoluções a depender do valor de x, são elas:

|2x + 1| = 2x + 1 se x > -1/2
|2x + 1| = –2x – 1 se x < -1/2

 

Temos então que analisar essas duas possibilidades, portanto:

Se x > – ½, a inequação ficará:

2x + 1 > x + 5
2x – x + 1 > 5
x + 1 > 5
x > 5 – 1
x > 4

Se x < – ½, a inequação ficará:

– 2x – 1 > x + 5
– 2x – x – 1 > 5
– 3x – 1 > 5
– 3x > 5 + 1
(–1). – 3x > 6 . (–1)
3x < – 6
x <-6/3
x < – 2

Portanto, os valores que satisfazem essa inequação são valores de x tais que – 2 > x > 4

3- Vamos resolver cada inequação separadamente para depois comparar suas soluções:

| x – 2 | ≤ 3
– 3 ≤ x – 2 ≤ 3
– 3 + 2 ≤ x ≤ 3 + 2
– 1 ≤ x ≤ 5

A primeira inequação é satisfeita pelos valores de – 1 ≤ x ≤ 5. Vamos então resolver a segunda inequação:

|3x – 2| > 5
– 5 > 3x – 2 > 5
– 5 + 2 >3x > 5 + 2
– 3 > 3x > 7
-3/3> x > 7/3
– 1 > x > 2,333…

Os valores que satisfazem a segunda inequação são valores de x tais que x < – 1 e x > 2,333…

O exercício questiona acerca dos valores inteiros de x que satisfazem simultaneamente as duas inequações. Os únicos valores que obedecem a essa exigência são os valores de 3, 4 e 5. O produto entre eles é dado por:

3 . 4 . 5 = 60

 

A alternativa correta é a letra b.

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