Teorema do Confronto (Sanduíche)

Quando não conseguimos achar o valor de algum limite talvez possamos usar o teorema do confronto (ou teorema do sanduíche como também é conhecido), que em sua base é uma função (f(x)) cujo valor é determinada entre duas funções (h(x) e g(x)), como podemos ver no gráfico:

Resultado de imagem para teorema do confronto

Escrevendo em uma linguagem matemática, esse teorema funciona somente quando g(x)< f(x) < h(x), isto é, a função desejada esteja sempre no meio das duas exceto dentro do limite que estamos buscando, como no valor “A” do gráfico anterior.

Quando tendemos as funções g(x) e h(x) a “A” seus resultado precisam ser iguais, então descobrimos que este valor será o limite de f(x) tendendo a “A”.

Deixo aqui uma ótima vídeo aula sobre o tópico com alguns exemplos para tirarem suas dúvidas:

Aqui fica também uma vídeo aula com exercícios comentados e resolvidos sobre o tema abordado:

 

 

Deixo aqui também alguns exercícios com gabarito sobre o teorema do confronto (sanduíche) :

1- Resolva o seguinte limite usando o teorema aprendido  tex2html_wrap_inline82 .

 

2- Resolva o seguinte limite usando o teorema aprendido   tex2html_wrap_inline84 .

 

3- Resolva o seguinte limite usando o teorema aprendido   tex2html_wrap_inline84  .

 

 

 

Gabarito:

1- Primeiro note que

$ -1 \le \sin x \le +1 $

Porque sabemos as propriedades da função seno. Já que estamos computando um limite que “x” tende ao infinito, assumimos que x>0

$ \displaystyle{ { -1 \over x } \le { \sin x \over x } \le { 1 \over x } } $

$ \displaystyle{ \lim_{ x \to \infty } \ { -1 \over x } = 0 = \lim_{ x \to \infty } \ { 1 \over x } } $

$ \displaystyle{ \lim_{ x \to \infty } \ { \sin x \over x } = 0 } $  .

 

2- Primeiro note que

$ -1 \le \cos x \le +1 $

Porque sabemos as propriedades da função cosseno

$ +1 \ge - \cos x \ge -1 $

$ 1 \le 2 - \cos x \le 3 $

$ \displaystyle{ { 1 \over x+3 } \le { 2 - \cos x \over x+3 } \le { 3 \over x+3 } } $

$ \displaystyle{ \lim_{ x \to \infty } \ { 1 \over x+3 } = 0 = \lim_{ x \to \infty } \ { 3 \over x+3 } } $

$ \displaystyle{ \lim_{ x \to \infty } \ { 2 - \cos x \over x+3 } = 0 } $  .

 

3- Primeiro note que

$ -1 \le \cos(2x)\le +1 $

Porque sabemos as propriedades da função cosseno

$ 0 \le \cos^2 (2x)\le +1 $

$ \displaystyle{ { 0 \over 3-2x } \ge { \cos^2 (2x) \over 3-2x } \ge { 1 \over 3-2x } } $

$ \displaystyle{ { 1 \over 3-2x } \le { \cos^2 (2x) \over 3-2x } \le 0 } $

$ \displaystyle{ \lim_{ x \to \infty } \ { 1 \over 3-2x } = 0 = \lim_{ x \to \infty } \ 0 } $

$ \displaystyle{ \lim_{ x \to \infty } \ { \cos^2 (2x) \over 3-2x } = 0 } $  .

2 Comments

  1. Ótimos exemplos!!

    Serviu de inspiração para uma videoaula que estou preparando.

    OBRIGADO!!

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