Introdução Integrais

As integrais normalmente são a parte mais difícil de cálculo A, mas caso o aluno tenha uma boa base de derivadas o assunto é muito mais simples.

O cálculo das integrais surgiu para solucionar um grande mistério que assolava os matemáticos.

Cálculos de áreas básicas como polígonos (retângulos, quadrados, triângulos e trapézio) já existiam há muito tempo, porém os estudiosos encontravam um grande problema no cálculo da área de regiões com contornos curvilíneo, tendo o círculo como exemplo mais simples.

Um modo primitivo para o cálculo utilizava-se do método de exaustão de Arquimedes que era utilizado da seguinte maneira:

  • Dividir o intervalo [a,b] em “n” subintervalos iguais e em cada um deles construir um retângulo que se estende desde o eixo x até algum ponto na curva y=f(x) acima do subintervalo.
  • Para cada “n”, a área total dos retângulos pode ser vista como uma aproximação à área exata sob a curva acima do intervalo [a,b]. Além disso, fica intuitivamente evidente que, quando “n” cresce, essas aproximações ficam cada vez melhores.
  • Chamaremos isso de o Método dos Retângulos para o cálculo A.

Podemos entender melhor como esse método funciona com as figuras abaixo:

Porém com o tempo vimos que o método dos retângulos não podia ser utilizado em todos os casos, além de ser muito trabalhoso. Foi só a partir da segunda metade do século XVII, quando Isaac Newton e Gottfried Leibniz independentemente descobriram que existe uma relação fundamental entre as áreas e as derivadas, chamada antiderivada.

Eles provaram que se f é uma função contínua não-negativa no intervalor [a,b] e se A(x) denota a área sob o gráfico de f acima do intervalo [a,x], onde x é um ponto qualquer do intervalo, então:

A’(x) = f(x)

Podemos entender melhor na figura abaixo:

Com isso podemos concluir que para calcular uma área curvilínea em um gráfico, usamos a antiderivada (integral indefinida), como aprenderemos no próximo tópico.

Abaixo fica um vídeo aula muito intuitiva sobre essa introdução a integrais e para que as usamos:

 

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