Integral por Substituição Trigonométrica

Esse é o assunto mais difícil quando se trata de integrais, então toda a atenção é necessária.

Podemos separar o método de resolução em três passos, eles são:

  1. Escolher a substituição.
  2. Resolver a integral.
  3. Retornar a variável inicial.

O primeiro passo trata-se de escolhermos a substituição correta na tabela abaixo:

Para exemplificar a tabela, resolvemos a seguinte integral:

Podemos ver pela tabela de substituição, podemos trocar por . Deduzimos que o da equação é 25, então a=5. Logo:

Precisamos derivar o “x”, assim:

Estamos prontos para resolvermos a integral (lembrando da identidade 1+tg2x=sec2x):

Após chegarmos nesse resultado ainda falta uma parte, a etapa 3, retomar o para “x”, fazendo as devidas substituições:

Precisamos lembrar as mudanças que fizemos no problema,

Precisamos lembrar que , logo:

Com trigonometria básica podemos descobrir quanto vale cada lado do triangulo retângulo:

Isso serve para podermos substituir a equação , para as variáveis iniciais, pois sabemos que tangente é e o podemos isolar, como vemos abaixo:

Depois de descobrirmos o só precisamos fazer as substituições no problema:

E chegamos enfim ao resultado final da integral.

Abaixo deixo 3 vídeo aulas que explicam passo a passo como resolver problemas de integrais com substituição trigonométricas:


Abaixo deixo algumas vídeo aulas com exercícios resolvidos sobre o tema para o aprendizado do aluno:



Deixo também exercícios abaixo com gabarito para o treino do aluno:

1-Resolva as seguintes integrais:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

 

 

 

Gabarito:

1-

a)

b)

c)

d)

e)

f)

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