Integral por Substituição

Existem algumas funções que não podem ser integradas usando somente as propriedades e a tabela de integrais, que necessitam de outro método.

A ideia básica da integração por substituição é fazer uma troca de uma parte da função(x) por uma variável simples(u), possibilitando a integração. Após a equação ser integrada substituímos a variável simples pela parte substituída.

Podemos entender melhor como isso acontece com o exemplo abaixo:

Calcule

Se tomarmos u=x2+1, então =2x, o que implica du=2xdx. Assim a integral dada pode ser escrita como:

É importante saber que, no método, controlamos a escolha de u, mas, uma vez feita a escolha, perdemos o controle sobre a expressão resultante para du. Isso significa que temos que ter cuidado ao escolher o u, algo que sempre facilite a função para a integração e que facilite o du.

Podemos criar um pequeno roteiro para a Integração por substituição:

  1. Procure alguma composição f(g(x)) dentro do integrando para qual a substituição: u=g(x) e du=g’(x)dx, produza uma integral expressa inteiramente em termo u e de du. Isso pode não ser possível (então precisaremos de outros métodos, tópicos mais avançados)
  2. Calcule a integral resultando em termos de u.
  3. Substitua u por g(x) para expressar a resposta final em termos de x.

Além disso existem algumas substituições facilmente identificáveis como quando o integrando for a derivada de uma função conhecida, por exemplo:

Aconselho altamente ao aluno fazer os exercícios no final desse tópico, pois esse conteúdo somente se aprende exercitando e após captado é extremamente útil e simples.

Deixo abaixo uma ótima vídeo aula sobre o tema:

Disponibilizo uma aula com muitos exercícios resolvidos sobre o tópico:

Abaixo ficam alguns exercícios com gabarito, que eu fortemente recomendado que os alunos treinem para fixar um método tão importante:

1-Calcule as seguintes integrais:

a)

b)

2-Use o método da substituição para calcular as seguintes integrais:

a)

b)

c)

d)

3-Resolva as integral abaixo:

a)

 

 

 

 

 

 

 

 

Resolução:

1-

a)

b)

2-

a)

b)

c)

d)

3-

a)

2 Comments

  1. Bons exercícios, adorei!

  2. Foi de grande utilidade!

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