Teorema do Valor Médio

Para que podermos aplicar o teorema do valor médio precisamos satisfazer duas condições, elas são:

  • A função deve ser contínua em um intervalo [ a , b ]: tópico estudado em limites no tema continuidade (confere no site), a função não pode ter “buracos” em sua reta, um exemplo de função contínua é :

E exemplos de funções discontínuas são:

  • A função deve ser diferenciável/derivável em (a,b): tema estudado no tópico de diferenciabilidade no site, porém um breve resumo, a função não é derivável quando apresenta bico em seu gráfico, como, por exemplo:

Ou quando apresenta inflexão vertical ou ponto de tangência vertical, como, por exemplo:

O teorema nos dá como resultado a inclinação média no intervalo solicitado, calculando sua reta secante entre os dois pontos.

Descobrimos a reta secante fazendo usando a fórmula:

Segundo o teorema, dentro dessa reta há um valor “C” que sua derivada terá o mesmo valor que a inclinação da reta secante, isso nos da a fórmula:

Tudo isso por ser visto no gráfico abaixo:

Para calcular o teorema seguiremos a ordem de verificar se as duas condições são satisfeitas e depois aplique a fórmula encontrando o x = c.

Farei um exemplo abaixo como demonstração:

f(x) = x2 – 2x → [0,3] , como a função é polinomial as duas condições são satisfeitas.

Então aplicaremos o teorema :

Primeiro precisamos descobrir f(a) e f(b), respectivamente 0 e 3, então:

f(a) →f(0) = 02 – 2.0=0

f(b) →f(3) = 32 – 2.3=3

Depois descobrimos a derivada da função, ou seja, f’(x):

f'(x) = x2 – 2x → f’(x) = 2x – 2

Podemos então fazer as substituições:

E finalmente podemos substituir o x na função derivada que achamos:

f’(x) = 2x – 2 → substituindo x por c para teremos que chegar a “m”, então:

2c – 2 = 1

C = 3/2 → este é o valor médio.

 

Abaixo deixo uma vídeo aula sobre o tema com conteúdo bem didático:

Deixo abaixo um exercício resolvido e comentado sobre o tema:

 

Deixo aqui também um exercícios com gabarito sobre teorema do valor médio:

1- Encontre um número “c” que satisfaça a conclusão do Teorema do Valor Médio para a função http://ecalculo.if.usp.br/derivadas/estudo_var_fun/teorema_vm/exercicios_tvm/imagens_exercicios_tvm/image002.gif, no intervalo [1,5].

 

 

 

 

Gabarito:

1- Podemos fazer uso do Teorema do Valor Médio, pois f é uma função polinomial do segundo grau e sabemos que esse tipo de função é contínua e derivável em seu domínio, logo é contínua em [1,5] e derivável em ]1,5[. Assim, estão satisfeitas as hipóteses do teorema.

Sendo  http://ecalculo.if.usp.br/derivadas/estudo_var_fun/teorema_vm/exercicios_tvm/solucoes_tvm/imagens_solucaotvm1/image002.gif ,

então

http://ecalculo.if.usp.br/derivadas/estudo_var_fun/teorema_vm/exercicios_tvm/solucoes_tvm/imagens_solucaotvm1/image004.gif

Por outro lado, o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos (1,f(1)) e por (5,f(5)), é dado por:

http://ecalculo.if.usp.br/derivadas/estudo_var_fun/teorema_vm/exercicios_tvm/solucoes_tvm/imagens_solucaotvm1/image006.gif

Logo, podemos encontrar pelo menos um c no intervalo ]1,5[ tal que:

http://ecalculo.if.usp.br/derivadas/estudo_var_fun/teorema_vm/exercicios_tvm/solucoes_tvm/imagens_solucaotvm1/image008.gif

 

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