Teorema de Rolle

Para concretizarmos o Teorema do matemático francês Michel Rolle, precisamos que três hipóteses sejam satisfeitas:

  • A função deve ser contínua em um intervalo [ a , b ]: tópico estudado em limites no tema continuidade (confere no site), a função não pode ter “buracos” em sua reta, um exemplo de função contínua é :

E exemplos de funções discontínuas são:

  • A função deve ser diferenciável/derivável em (a,b): tema estudado no tópico de diferenciabilidade no site, porém um breve resumo, a função não é derivável quando apresenta bico em seu gráfico, como, por exemplo:

Ou quando apresenta inflexão vertical ou ponto de tangência vertical, como, por exemplo:

  • Para o teorema ser usado f (a) = f (b): para aplicarmos o teorema precisamos que essa ordem seja satisfeita, como podemos observar no gráfico abaixo:

Caso as três condições forem satisfeitas podemos dizer que:

Existe pelo menos um x = c em (a,b), tal que f’(c)=0.

Para calcularmos o teorema de Rolle precisamos descobrir se as três condições são satisfeitas (para entendermos melhor como análisar essas opções olhem os tópicos sobre os assuntos no site ou olhem a vídeo aula abaixo).

Depois de satisfeitas as condições, derivamos a função e igualamos ela a zero e trocamos a incognita por “c”, como por exemplo:

f(x) = -x2 + 4x → (0,4), como a função é polinomial ela é contínua e diferenciável, f(0)=0 e f(4)=0 então todas as condições são satisfeitas,

f’(x) = -2x + 4 , f’(c) = 0 segundo o teorema então,

-2c + 4 = 0

C = 2

 

Deixo uma vídeo aula abaixo bem didática sobre o tema com explicação e exercícios resolvidos e comentados:

 

Deixo abaixo também alguns exercícios com gabarito sobre o tema:

1- Dada a função f(x)= 4x3 – 9x2 + 5x verifique se exsite algum ponto de f(x) em [0,1] cuja reta tangente tenha inclinação nula.

 

2- Dada a função f(x)= 4x3 – 9x2 + 5x verifique se é possível encontrar algum ponto (a,b) em que f’(a) = 0 com a ϵ [1, 5/2] através do Teorema de Rolle.

 

 

 

 

Gabarito:

1-

 

 

2-

4 Comments

  1. Obrigado…este é um grande recurso.

  2. Obrigado.este é um grande recurso.

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