Taxas Relacionadas

Para entender esse tópico, o conteúdo de derivadas implícitas precisa estar dominada (no site existe esse conteúdo).

Esse conteúdo de derivadas relaciona quantidades que estão variando em relação as outras, cujas taxas de variação são conhecidas. Em vários problemas de cálculo, duas ou mais grandezas variáveis estão relacionadas entre si por uma equação.

Para resolver esse tipo de derivada, o jeito mais prático é seguindo os seguintes passos:

 

  1. Faça uma figura se isso for possível.
  2. Defina as variáveis (derivada implícita), normalmente a variável isolada será o t (tempo).
  3. Escreva todos os fatos numéricos conhecidos sobre as variáveis e suas derivadas em relação à variável isolada.
  4. Obtenha uma equação que envolva todas as variáveis do problema (altura, tempo, distância).
  5. Derive em relação a variável isolada ambos os membros da equação encontrada na etapa 4.
  6. Substitua os valores de quantidades conhecidas na equação da etapa 5 e resolva em termos da medida desejada.

Podemos entender melhor como isso funciona no exemplo abaixo:

 

Deixo abaixo uma vídeo aula de explicação sobre o tema de taxas relacionadas:

 

Abaixo fica também uma vídeo aula muito didática sobre o tema:

 

Deixo aqui também exercícios com gabarito sobre esse tópico do cálculo de derivadas:

1- Um tanque tem a forma de um conve invertido com 16 metros de altura e uma base com 4 metros de raio. A agua “flui” no tanque a uma taxa de 2 m3/min. Com que velocidade o nível da água estará se elevando quando sua profundidade for de 5 metros?

 

2- Dois carros estão se encaminhando em direção a um cruzamento, um seguindo a direção leste a uma velocidade de 90 hm/h e o outro a direção sul, a 60 km/h. Qual a taxa segundo a qual eles se aproximam um do outro no instante em que o primeiro carro esta 0,2 km do cruzamento e o segundo a 0,15 km?

 

3- Um tanque cúbico horizontal tem aresta medindo 2 metros, e a vazaão de água é constante, valendo 0,5 m3/s. Determine a velocidade de subida do nível da água.

 

 

 

 

 

 

Gabarito

1-

 

 

2-

 

 

3-

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