Máximos e Mínimos Relativos

Esse tópico junto com derivada primeira (tema anterior do site) introduz o assunto de esboço de gráfico.

Em um gráfico de função podemos ter vários pontos aonde o gráfico aumenta de diminui com isso apresentamos o conceito de máximo e mínimo.

São divididos em quatro opções:

  • Máximo Absoluto: ponto com maior valor do gráfico de uma função.
  • Máximo Relativo: ponto onde um pico com valor alto é encontrado, porém não temos certeza se é o maior valor.
  • Mínimo Absoluto: ponto com o menor valor do gráfico de uma função.
  • Mínimo Relativo: ponto onde um pico com valor baixo é encontrado, porém não temos certeza se é o menor valor.

Podemos entender melhor esses conceitos no gráfico abaixo:

O jeito de descobrir os máximos e mínimos é achando os pontos críticos (vistos no tópico anterior) e fazer o estudo de sinais do ponto, caso mude o sinal no ponto crítico então a função é um máximo ou mínimo.

  • Máximo: sinal crescente e no ponto crítico vira decrescente.
  • Mínimo: sinal decrescente e no ponto crítico vira crescente.

Podemos entender melhor o conceito de máximos e mínimos na vídeo aula abaixo:

 

Agora para utilização prática do conceito deixo duas vídeo aulas com exercícios resolvidos e comentados sobre o tema:


 

Deixo também abaixo alguns exercícios com gabarito para o aluno treinar:

1 – Encontre o(s) maximo(s) local(ais) da funcao f(x) = −5×2 + 2x − 1.

 

2 – Encontre o máximo e o mínimo absoluto no intervalo dado.

a)

b)

 

 

 

 

Gabarito:

1- Primeiro verificamos quais valores de x resulta em f′(x) > 0.

http://s3.amazonaws.com/magoo/ABAAAhA0YAF-1.jpg

Agora verificamos quais valores de x resulta em f′(x) < 0.

http://s3.amazonaws.com/magoo/ABAAAhA0YAF-2.jpg

http://s3.amazonaws.com/magoo/ABAAAhA0YAF-3.jpg

 

2- a) Para encontrar o máximo e o mínimo absolutos da função

http://www.mtm.ufsc.br/~azeredo/calculos/Acalculo/x/listas/maxmin/images/e1.gif

nós calculamos a derivada

http://www.mtm.ufsc.br/~azeredo/calculos/Acalculo/x/listas/maxmin/images/s1.gif

e procuramos os zeros da derivada que são:

x = 2.5.

Este é o único ponto crítico de f. Considere a seguinte tabela dos valores da f nos pontos críticos e nos pontos extremos do intervalo:

Então podemos ver que o máximo absoluto ocorre em x = -1 e é 13 e o mínimo absoluto ocorre em x = 2.5 e é 0.75.

O gráfico da função é:

http://www.mtm.ufsc.br/~azeredo/calculos/Acalculo/x/listas/maxmin/images/g1.gif

 

b) Para encontrar o máximo e o mínimo absolutos da função

http://www.mtm.ufsc.br/~azeredo/calculos/Acalculo/x/listas/maxmin/images/e2.gif

nós calculamos a derivada

http://www.mtm.ufsc.br/~azeredo/calculos/Acalculo/x/listas/maxmin/images/s2.gif

e procuramos os zeros da derivada que são:

x = 1 e x=3

Estes são os únicos pontos críticos de f no intervalo. Considere a seguinte tabela dos valores da f nos pontos críticos e nos pontos extremos do intervalo:

Então podemos ver que o máximo absoluto ocorre em x = 1 e x=4 e é e o mínimo absoluto ocorre em x = 0 e em x=3 e é 2.

O gráfico da função é:

http://www.mtm.ufsc.br/~azeredo/calculos/Acalculo/x/listas/maxmin/images/g2.gif

6 Comments

  1. Ezequiel Saldanha

    Quero receber diariamente em meu email, exercicios resolvidos relacionado ao extremos maximos e minimos.

    • Ezequiel, estamos implementando novos recursos no site, e o feed por e-mail estará entre eles. Continue acompanhando nosso conteúdo e avisaremos você assim que tivermos novidades!

  2. Não entendi essa tabela…

    • Olá Ruth, a tabela funciona da seguinte forma: quando x for -1 o resultado da função f(x) será 13, quando x for 3 o resultado da função f(x) será 1, assim por diante, como podemos observar e entender melhor no gráfico logo abaixo a tabela. Espero que sua dúvida tenha sido respondida!

  3. Ramiro Raidei António

    Gostei da demonstração…/

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