Derivada Segunda

O conceito de derivada segunda é simples, o próprio nome já indica, é quando se deriva duas vezes uma função f(x) criando assim uma f’’(x).

Então em resumo matemático a derivada segunda é:

f(x) f’(x) f’’(x)

Por exemplo a função f(x) = x2 :

f(x) = x2 f’(x) = 2x → f’’(x) = 2

O resultado da derivada segunda é usada em esboços de gráficos com a seguinte conclusão:

  • Resultado Positivo: concavidade virada para cima ( ) .
  • Resultado Negativo: concavidade virada para baixo ( ) .
  • Resultado igual a zero: suspeito de inflexão.

O ponto de infexão é o local na reta aonde a concavidade é mudada. Como podemos conferir na imagem abaixo:

Resultado de imagem para ponto de inflexão

A esquerda do ponto de inflexão temos uma concavidade virada para baixo (resultado negativo) e a direita uma concavidade virada para cima (resultado positivo).

Disponibilizo abaixo uma vídeo aula de explicação sobre o tema de derivada segunda:

Deixo abaixo também uma vídeo aula com exercícios comentados e resolvidos sobre o tópico de derivada segunda:

 

Abaixo disponibilizo também alguns exercícios com gabarito sobre o tema estudado:

1- Nas funções a seguir determine os intervalos onde a função é côncava para cima ou côncava para baixo e os pontos de inflexão.

a) http://www.mtm.ufsc.br/~azeredo/calculos/Acalculo/x/listas/grafico/images/f1.gif

b) http://www.mtm.ufsc.br/~azeredo/calculos/Acalculo/x/listas/grafico/images/f2.gif

c) http://www.mtm.ufsc.br/~azeredo/calculos/Acalculo/x/listas/grafico/images/f3.gif

d) http://www.mtm.ufsc.br/~azeredo/calculos/Acalculo/x/listas/grafico/images/f4.gif

 

 

 

Gabarito:

1-a) A função dada é

http://www.mtm.ufsc.br/~azeredo/calculos/Acalculo/x/listas/grafico/images/f1.gif

Primeiro calculamos a primeira e segunda derivada:

http://www.mtm.ufsc.br/~azeredo/calculos/Acalculo/x/listas/grafico/images/der1.gif

Claramente, não existe solução para f”(x) = 0.

Como o domínio de f é o mesmo do de f’, não existe pontos de inflexão.

Como f”(x) = 2 > 0 para todo xf é côncava para cima sempre.

 

b) A função dada é

http://www.mtm.ufsc.br/~azeredo/calculos/Acalculo/x/listas/grafico/images/f2.gif

Primeiro calculamos a primeira e segunda derivada:

http://www.mtm.ufsc.br/~azeredo/calculos/Acalculo/x/listas/grafico/images/der2.gif

Fazemos a segunda derivada igual a zero e resolvemos:

http://www.mtm.ufsc.br/~azeredo/calculos/Acalculo/x/listas/grafico/images/s2.gif

Como o domínio de f é o mesmo do de f”x = 1.5 é o único candidato possível para ponto de inflexão.

Verificando:

Portanto, x = 1.5 é o ponto de inflexão.

 

c) A função dada é

http://www.mtm.ufsc.br/~azeredo/calculos/Acalculo/x/listas/grafico/images/f3.gif

Primeiro calculamos a primeira e segunda derivada:

http://www.mtm.ufsc.br/~azeredo/calculos/Acalculo/x/listas/grafico/images/der3.gif

Fazemos a segunda derivada igual a zero e resolvemos:

http://www.mtm.ufsc.br/~azeredo/calculos/Acalculo/x/listas/grafico/images/s3.gif

Como o domínio de f é o mesmo do de f”x = 0 e x = 0.5 são os únicos candidatos possíveis para pontos de inflexão.

Verificando:

x < 0 f”(-1) = 18 f é côncava para cima
0< x < 0.5 f”(0.1) = -0.48 f é côncava para baixo
x > 0.5 f”(1) = 6 f é côncava para cima

Portanto, x = 0 e x = 0.5 são os pontos de inflexão.

 

d) A função dada é

http://www.mtm.ufsc.br/~azeredo/calculos/Acalculo/x/listas/grafico/images/f4.gif

Primeiro calculamos a primeira e segunda derivada:

http://www.mtm.ufsc.br/~azeredo/calculos/Acalculo/x/listas/grafico/images/der4.gif

Fazemos a segunda derivada igual a zero e resolvemos:

http://www.mtm.ufsc.br/~azeredo/calculos/Acalculo/x/listas/grafico/images/s4.gif

Como o domínio de f é o mesmo do de f”x = -3.41.. e x = -0.58.. são os únicos candidatos possíveis para pontos de inflexão.

Verificando:

x < -3.41.. f”(-4) = 0.036.. f é côncava para cima
-3.41.. < x < -0.58.. f”(-1) = -0.36.. f é côncava para baixo
x > -0.58.. f”(0) = 2 f é côncava para cima

Portanto, x = -3.41.. e x = -0.58.. são os pontos de inflexão.

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